狄利克雷生成函数入门

本文探讨狄利克雷生成函数以及其相关应用。

$\gdef\dgf#1{\tilde{ #1 }} \gdef\Prime{\mathcal{P}}$

另外，使用 $\Prime$ 表示素数集合。

狄利克雷生成函数

对于无穷序列 $f_1, f_2, \ldots$ ，定义其狄利克雷生成函数（Dirichlet series generating function，DGF）¹：

$\dgf{F}(x) = \sum_{i\ge 1}\frac{f_i}{i^x}$

如果序列 $f$ 满足积性（积性函数²）： $\forall i\perp j, \; f_{ij} = f_i f_j$ ，那么其 DGF 可以由质数幂处的取值表示：

$\dgf{F}(x) = \prod_{p\in \Prime} \left(1 + \frac{f_p}{p^x} + \frac{f_{p^2}}{p^{2x}} + \frac{f_{p^3}}{p^{3x}} + \cdots \right)$

对于两个序列 $f, g$ ，其 DGF 之积对应的是两者的狄利克雷卷积序列：

$\dgf{F}(x)\dgf{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}}$

常见积性函数的 DGF

DGF 最适合用于研究与积性函数的狄利克雷卷积相关的问题。因此首先我们要了解常见积性函数的 DGF。

黎曼函数

序列 $1, 1, 1, \ldots$ 的 DGF 是 $\sum_{i\ge 1}\frac{1}{i^x} = \zeta(x)$ 。 $\zeta$ 是黎曼函数。

由于其满足积性，因此我们可以得到 $1, 1, 1, \ldots$ 的 DGF 的另一种形式：

$\zeta(x) = \prod_{p\in\Prime} \left(1 + \frac{1}{p^x} + \frac{1}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \Prime} \frac{1}{1-p^{-x}}$

莫比乌斯函数

对于莫比乌斯函数 $\mu$ ，它的 DGF 定义为

$\dgf{M} (x) = \prod_{p\in \Prime}\left(1 - \frac{1}{p^x}\right) = \prod_{p\in \Prime}(1-p^{-x})$

容易发现 $\zeta(x) \dgf{M}(x) = 1$ ，也就是说 $\dgf{M}(x) = \frac{1}{\zeta(x)}$ 。

欧拉函数

对于欧拉函数 $\varphi$ ，它的 DGF 定义为

$\dgf{\Phi}(x) = \prod_{p\in\Prime} \left(1 + \frac{p-1}{p^x} + \frac{p(p-1)}{p^{2x}} + \frac{p^2(p-1)}{p^{3x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \Prime}\frac{1-p^{-x}}{1-p^{1-x}}$

因此有 $\dgf{\Phi}(x) = \frac{\zeta(x-1)}{\zeta(x)}$ 。

幂函数

对于函数 $I_k (n) = n^k$ ，它的 DGF 定义为

$\dgf{I_k} (x) = \prod_{p\in\Prime} \left(1 + \frac{p^k}{p^x} + \frac{p^{2k}}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \Prime} \frac{1}{1-p^{k-x}} = \zeta(x-k)$

根据这些定义，我们可以轻松地证明 $\varphi \ast 1 = I$ ，因为 $\dgf{\Phi}(x)\zeta(x) = \zeta(x-1)$ 。

其他函数

对于约数幂函数 $\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k$ ，它的 DGF 可以表示为狄利克雷卷积的形式： $\dgf S(x) = \zeta(x-k)\zeta(x)$ 。

对于 $u(n) = |\mu(n)|$ （无平方因子数），它的 DGF 为 $\dgf{U}(x) = \prod_{p\in \Prime} (1+p^{-x}) = \frac{\zeta(x)}{\zeta(2x)}$ 。